Tia phân giác là gì? Khái niệm tia phân giác ngoài và trong

Tia phân giác là kiến thức quan trọng trong môn Toán hình học lớp 7. Vậy, thực chất tia phân giác là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết và cách vẽ tia phân giác như thế nào? Có những dạng bài tập nào liên quan đến tia phân giác? Tham khảo ngay những chia sẻ dưới đây của chúng tôi để có câu trả lời nhé!

Tia phân giác là gì?

Tia là gì trong toán học?

Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O thì được gọi là một tia gốc O, hay còn được gọi là một nửa đường thẳng gốc O.

Khi đọc hay viết tên một tia thì chúng ta phải đọc hoặc viết tên gốc trước.

Tia phân giác của một góc là gì?

Tia phân giác của một góc chính là tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh đó hai góc bằng nhau.

Ví dụ: Ta có góc xOy. Nếu như tia Oz nằm ở giữa 2 tia Ox và Oy, đồng thời chia góc xOy thành 2 góc bằng nhau thì ta gọi tia Oz chính là tia phân giác hay tia phân giác trong của góc xOy.

Tia phân giác trong của một góc là tia chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Còn tia phân giác ngoài của một góc là tia chia góc kề bù của góc đó thành hai góc bằng nhau.

Cách vẽ tia phân giác là gì?

Cho góc xOy. Để vẽ tia phân giác của góc xOy thì chúng ta có thể thử 2 cách như sau:

Cách 1: Sử dụng thước thẳng và compa

• Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm một A bất kì sao cho A khác O. Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA và cắt tia Oy tại điểm B.
• Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A có bán kính là AO.
• Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính AO sao cho cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.
• Bước 4: Vẽ tia OC thì ta được tia phân giác của góc xOy.

Cách 2: Sử dụng thước hai lề

• Bước 1: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước phải trùng với một trong hai cạnh của góc xOy. Sau đó dùng bút vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.
• Bước 2 (tương tự như bước 1): Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh còn lại của góc xOy. Sau đó dùng bút vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.
• Bước 3: Hai nét vạch ở bước 1 và bước 2 sẽ cắt nhau tại điểm K nằm trong góc xOy. Vẽ tia OK thì ta được tia này chính là tia phân giác của góc xOy.

Tính chất tia phân giác của góc là gì?

Có 2 tính chất quan trọng của tia phân giác của một góc đó là:

• Tia phân giác của một góc sẽ chia góc đó thành 2 góc nhỏ có số đo bằng nhau. Cụ thể là mỗi góc bằng một nửa của góc ban đầu. 
• Tất cả các điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều 2 tia tạo thành góc đó.

Dấu hiệu nhận biết tia phân giác của góc

Dựa vào các tính chất trên chúng ta có thể liệt kê ra các dấu hiệu để nhận biết tia phân giác của một góc là:

• Một tia bất kỳ mà chia một góc thành 2 góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng một nửa của góc đã cho thì nó chính là tia phân giác của góc đó. 
• Tia nằm trong một góc và các điểm trên đó cách đều 2 tia tạo thành góc thì là tia phân giác của góc đó. 

Có thể bạn cần biết:

Trực tâm là gì? Định nghĩa, tính chất và cách xác định trực tâm của tam giác

Đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông

Các dạng bài tập liên quan đến tia phân giác

Dạng 1: Nhận biết tia phân giác của một góc

Phương pháp giải: 

Chứng minh tia Oy chính là tia phân giác của góc xOz thì ta có 3 cách như sau:

• Cách 1: Chứng minh tia Oy là tia nằm giữa hai tia Ox và Oz và góc xOy = góc yOz.
• Cách 2: Chứng minh góc xOy = góc yOz = ½ góc xOz
• Cách 3: Dùng tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là cũng là đường phân giác.

Ví dụ 1: Cho ΔABC, hai đường phân giác của hai góc ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại E. Chứng minh E thuộc đường phân giác trong của BAC.

Bài giải:

Từ E hạ EH vuông góc BC, EF vuông góc AB, EG vuông góc AC với H thuộc BC, F thuộc AB và G thuộc AC.

Ta có:

EF = EH (E thuộc phân giác ngoài của góc B) (1)

EH = EG (E thuộc phân giác ngoài của góc C) (2)

Từ (1) và (2) ta có: EF = EG => E thuộc tia phân giác trong của góc BAC (theo tính chất tia phân giác của một góc).

Ví dụ 2: Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

1. AD = BC
2. ΔABE = ΔCDE
3. OE là tia phân giác của góc xOy

Bài giải:

1. Xét ΔOAD và ΔOCB, ta có:

OA = OC (giả thiết)

Góc O chung

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ΔOAD = ΔOCB (c.g.c)

=> AD = CB (hai cạnh tương ứng)

1. Do OA = OC và OB = OD nên AB = CD

Ta có: ΔOAD = ΔOCB (chứng minh trên)

=> Góc OBC = góc ODA; OAD = OCB (hai góc tương ứng).

Mặt khác, ta có: góc ABE + góc OBC = góc CDE + góc ODA = 180°

=> Góc ABE = góc CDE

Xét ΔABE và ΔCDE, ta có:

Góc OAD = góc OCB (chứng minh trên)

AB = CD (chứng minh trên)

Góc ABE = góc CDE (chứng minh trên)

Dạng 2: Tìm số đo góc

Ví dụ 1: Cho hai góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù, biết góc xOy = 120°

1. Tính góc yOz
2. Gọi Om là tia phân giác của góc xOy. Tính góc zOm

Bài giải:

1. Vì góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nên ta có góc xOy + góc yOz = 180° hay góc yOz = 180° – góc xOy = 60°
2. Tia Om là tia phân giác của góc xOy nên góc xOm = góc mOy = góc xOy/2 = 120/2 = 60°

Hai góc xOm và góc zOm kề bù nên góc xOm + góc zOm = 180°

=> Góc zOm = 120°

Ví dụ 2: Cho hai góc kề nhau góc AOB và góc BOC sao cho góc AOB = 50°, góc BOC = 80°. Gọi OD là tia đối của tia OC.

1. Tính số đo góc AOC
2. Chứng minh tia OA nằm giữa hai tia OB và OD
3. Tia OA có phải là tia phân giác của góc BOD không? Vì sao?

Bài giải:

1. Ta có: góc AOC = góc AOB + góc BOC = 50 + 80 = 130°
2. Ta có: góc AOC < COD (130° < 180°) và góc COB < góc AOC (80° < 130°). Do đó, tia OA nằm giữa tia OB và OD.
3. Tia OA nằm giữa hai tia OC và OD nên góc COD = góc COA + góc AOD => góc AOD = 50°

Như vậy, góc AOD = góc AOB = 50°. Kết hợp với câu b ta có OA nằm giữa hai tia OB và OD nên OA là tia phân giác của góc BOD.

Dạng 3: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: 

Áp dụng định lý thuận: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì sẽ cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ 1: Cho ΔABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường thẳng vuông góc với BC tại trung điểm D của BC. Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB và AC. Chứng minh: BH = CK.

Bài giải:

Ta có: D thuộc phân giác của góc A

DH vuông góc với AB, DK vuông góc với AC

=> DH = DK (tính chất tia phân giác của một góc)

Gọi G là trung điểm của BC

Xét ΔBGD và ΔCGD, ta có:

Góc BGD = góc CGD = 90° (DG là đường trung trực của BC)

BG = CG (giả thiết)

DG là cạnh chung

Do đó, ΔBGD = ΔCGD (hai cạnh góc vuông)

=> BD = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔBHD và ΔCKD ta có:

Góc BHD = CKD = 90°

DH = DK (chứng minh trên)

BD = CD (chứng minh trên)

Do đó, ΔBHD = ΔCKD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=> BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ví dụ 2: Cho ΔABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 6 cm. Gọi E là trung điểm của AC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

1. Tính BC?
2. Chứng minh: ΔBAD = ΔEAD
3. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của G trên AB, AC. Chứng minh rằng: điểm D cách đều AB và AC.

Bài giải:

1. Xét ΔABC vuông tại A, ta có:

AB2 + AC2 = BC2 (định lý pytago)

=> BC = AB2 + AC2 = 9 + 36 = 45(cm)

1. Vì E là trung điểm của AC nên:

AE = 1/2 AC = 3 cm => AE = AB

Xét ΔBAD và ΔEAD ta có:

Góc BAd = góc EAD (AD là phân giác)

AD chung

AB = AE (chứng minh tên)

Do đó, ΔBAD = ΔEAD (c.g.c)

1. Vì D nằm trên tia phân giác của góc BAC nên DH = DK (tính chất tia phân giác của một góc). Vậy điểm D cách đều AB và AC.

Nắm vững được lý thuyết tia phân giác là gì cũng như các dạng bài tập có liên quan sẽ giúp bạn giải bài tập tốt hơn. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào khác liên quan đến tia phân giác của một góc thì hãy để lại bình luận ngay bên dưới nhé!