Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất đường trung tuyến trong tam giác

1 Tháng Năm, 2021 0 lượt xem 0 Tuyen TB

Trong chương trình toán 7 môn hình học, các bạn đã được học về đường trung tuyến và các tính chất, định lý của đường trung tuyến trong tam giác. Kiến thức này được củng cố lại ở lớp 10. Tuy nhiên, nhiều bạn đang bị lẫn lộn giữa khái niệm đường trung tuyến và đường trung trực. Vậy đường trung tuyến là gì? Hãy đọc bài viết dưới đây để có câu trả lời đầy đủ nhất về đường trung tuyến.

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của đoạn thẳng

Đường trung tuyến của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó

Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác, đầu kia là trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác bất kỳ đều có 3 đường trung tuyến.

3 đường trung tuyến của tam giác

3 đường trung tuyến của tam giác

Tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC thì AD là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, nếu D,E,F lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC,AC,AB. Thì AD,CE,BF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

Công thức, tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường

  • Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
  • Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
  • Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

đường trung tuyến trong tam giác vuông

ABC vuông có AD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại, nếu trung tuyến AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A

Tính chất:

  • Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
  • Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
  • Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân

đường trung tuyến trong tam giác cân

Đường trung tuyến trong tam giác cân

ABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC=> AD ⊥ BC và ΔADB = ΔADC

Tính chất:

  • Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều

Đường trung tuyến trong tam giác đều

Đường trung tuyến trong tam giác đều

ΔABC đều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB = SBFA = SBFC

Tính chất:

  • 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
  • Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Công thức độ dài của đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Với ma là trung tuyến ứng với cạnh a trong tam giác

mb là trung tuyến ứng với cạnh b trong tam giác

mc là trung tuyến ứng với cạnh c trong tam giác

Trong đó:

  • a, b, c: là các cạnh của tam giác.
  • ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

Các dạng bài tập về đường trung tuyến thường gặp

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác

Với G là trọng tâm của tam giác ABC và AB, BE, CF là 3 đường trung tuyến, ta có

AG = 2/3AD; BG = 2/3BE; CG = 2/3CF

Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều), trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Bài tập ví dụ về đường trung tuyến trong tam giác

Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

  1. a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
  2. b) Tính độ dài AM.

Lời giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC

Mặt khác ABC cân tại A

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM ⊥ BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng Định lý Pitago có:

AC2 = AM2 + MC2 => 172= AM2 + 82 => AM2 = 172- 82= 225 =>AM= 15Cm.

 

 

Bài viết liên quan