Tổ hợp, chỉnh hợp là những kiến thức quan trọng trong bộ môn Toán học 10. Tuy nhiên không phải ai cũng hiểu rõ tổ hợp là gì? Chỉnh hợp là gì? Sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp? Trong bài viết này hãy cùng với chúng tôi tìm hiểu chi tiết về 2 khái niệm này nhé!
Tổ hợp là gì?
Định nghĩa
Tổ hợp được hiểu là phương pháp mà chúng ta chọn các phần tử trong nhóm lớn mà không cần phải phân biệt về mặt sắp xếp thứ tự. Ở một số trường hợp thì bạn được đếm cả số lượng tổ hợp.
Tổ hợp có dạng chập “k” của số lượng “n” phần tử có nghĩa là số các nhóm bao gồm “k” phần tử được lấy ra từ nhóm “n” phần tử và giữa nó thì chỉ có sự khác biệt về những thành phần trong cấu trúc chứ chưa xem xét đến thứ tự của những phần tử này.
Ví dụ: Có 7 quả trứng và các quả trứng sẽ được đánh số từ 1 đến 7. Lúc này thì một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử trứng sẽ được ghi nhận như sau: (2, 1, 3), (1, 3, 2), (2,6,5)…
Công thức tính
Ta có đề bài như sau: Cho một tập hợp A bao gồm n phần từ, trong đó n được yêu cầu phải thỏa mãn điều kiện đó là n lớn hơn hoặc bằng 0, k thì phải lớn hơn hoặc bằng 0. Trong mỗi tập con chứa k phần tử thuộc tập hợp A sẽ cho chúng ta một tổ hợp chập k của n phần tử.
Ký hiệu tổ hợp chập k của n phần tử được ghi nhận như sau: Ckn (trong đó: k lớn hơn hoặc bằng n).
Công thức tính tổ hợp chập k của n phần tử như sau:
Ckn = n! / k!.(n−k)!
Trong đó: k cần phải đảm bảo được điều kiện thỏa mãn là k lớn hơn hoặc bằng 1 và đồng thời nó phải nhỏ hơn hoặc bằng n.
Tính chất
Tập hợp mà không có chứa phần tử nào chính thì được gọi là tập hợp rỗng. Từ đó chúng ta hình thành nên quy ước về tổ hợp rỗng được ghi nhận như sau: C0n = 1.
Để có thể đếm được số tổ hợp chập k của n phần tử thì bạn hãy giả sử như sau: Ta có k vị trí và thực hiện đánh số từ vị trí số 1 cho đến hết vị trí k. Sau đó lấy lần lượt những phần tử này để sắp xếp chính xác vào mỗi một vị trí khác nhau. Đối với mỗi một vị trí của một phần tử thì sẽ có được một tổ hợp tương ưng.
- Với mỗi một phần tử thì chúng ta sẽ có n cách để xếp vào một vị trí nào đó bất kỳ. Vị trí tiếp theo thì ta sẽ có (n-1) cách để sắp xếp… cho tới phần tử thứ k thì chúng ta sẽ có (n-k + 1) cách sắp xếp.
- Với cách đếm này thì chúng ta có thể hoán đổi k phần tử đó với nhau (được gọi là phép hoán vị) mà không cần phải lo rằng sẽ phát sinh ra các tổ hợp nào khác nữa.
Bài tập minh họa
Một lớp học gồm có 30 em học sinh nam và 15 em học sinh nữ (tổng là 45 em học sinh). Trong buổi họp lớp cần đề cử ra 5 em học sinh vào ban cán sự lớp. Hỏi số cách chọn:
- Nếu số cán sự lớp không phân biệt là nam hay nữ.
- Cần có 2 nam và 3 nữ.
Giải:
- Trong trường hợp không phân biệt thì số cách chọn là C45/5= 1221759
- Trường hợp cần 2 nam thì ta có: C30/2 và 3 nữ ta có: C15/3. Vậy cách chọn ra trong trường hợp này sẽ là: C30/2.C15/3
Chỉnh hợp là gì?
Định nghĩa
Chỉnh hợp cũng là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng tập hợp này sẽ có phân biệt thứ tự.
Chỉnh hợp chập k của n được xem như là cách sắp xếp đối với các phần tử của một tập hợp con. Trong đó bao gồm có k phần từ nằm trong tập hợp của n phần tử.
Ví dụ: Cho bạn một tập hợp được đặt tên là B bao gồm có n phần tử, trong đó điều kiện là n phải lớn hơn hoặc có thể bằng k, còn k thì phải lớn hơn hoặc có thể bằng 1 (1 ≤ k ≤ n).
Chúng ta tiến hành lấy ra k phần tử khác nhau nằm trong tập hợp gồm n phần tử trong tập hợp A đó. Sau đó sẽ sắp xếp các phần từ k được lấy ra theo một thứ tự nhất định thì lúc này chúng ta sẽ có được một chỉnh hợp chập k của n.
Công thức tính
Chỉnh hợp của tập hợp A sẽ có ký hiệu là Akn. Đây chính là ký hiệu thể hiện số các chỉnh hợp chập k của n phần tử mà chúng ta đã phân tích cụ thể ở trên.
Công thức tính chỉnh hợp được ghi nhận như sau:
Akn = n! / (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)….
Ta có:
- K = n thì bạn có thể hiểu công thức tính của Ann = Pn = n. Từ công thức ở trên thì chúng ta sẽ có một hoán vị của n phần tử, đó cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử.
- Quy ước: Chỉnh hợp 0! = 1
Ý nghĩa
Chỉnh hợp mang đến cho bạn cách hiểu khá trừu tượng. Vậy nên nếu như bạn không nghiên cứu, tìm hiểu kỹ lưỡng thì sẽ có thể nhầm lẫn và làm sai bài tập. Ý nghĩa của chỉnh hợp rất lớn, chúng ta thực hiện các phép tính có liên quan đến chỉnh hợp để nhằm phục vụ cho việc đếm cụ thể về số tổ hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ: Bạn có k vị trí và thực hiện đánh số từ vị trí số 1 cho đến hết vị trí k. Sau đó sẽ lấy lần lượt những phần tử để sắp xếp chính xác vào mỗi vị trí. Đối với mỗi một vị trí của từng phần tử thì ta sẽ có được một chỉnh hợp khác nhau.
Đối với từng phần tử thì chúng ta sẽ có n cách để xếp chúng vào một vị trí nào đó bất kỳ. Ví dụ như: Với vị trí tiếp theo thì chúng ta sẽ có (n-1) cách để sắp xếp… cho tới phần tử thứ k thì chúng ta sẽ có (n-k + 1) cách sắp xếp khác nhau.
Bài tập minh họa
Bài tập 1: Cho một tập hợp P= {a,b,c}. Hãy tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của tập hợp P?
Giải:
Chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử tập hợp P sẽ là:
(a,b), (a,c),
(b,a), (b,c),
(c,a), (c,b).
Chỉnh hợp tính được sẽ là: P23 = 6
Bài tập 2: Trong một lớp học có một nhóm gồm 6 bạn học sinh. Mỗi ngày 3 trong số 6 bạn này sẽ được phân công đi trực nhật (1 bạn lau bảng, 1 bạn quét nhà và 1 bạn sắp xếp bàn ghế). Hãy chỉ ra cách phân công sao cho phù hợp nhất.
Giải:
Theo công thức tính chỉnh hợp thì ta có cách phân công là: A63= 6!(63)! = 120
Vậy sẽ có 120 cách để phân công.
Sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp là gì?
Trong quá trình học thì rất nhiều bạn còn bị nhầm lẫn về 2 khái niệm này. Nguyên nhân là bởi chúng tương đối khó nhớ và gần giống nhau. Cụ thể cách phân biệt 2 khái niệm này như sau:
- Với chỉnh hợp thì đó là việc lấy ra một số phần tử và sắp xếp vị trí của chúng.
Ví dụ: Có 3 chữ số cho trước là 1,2 và 3. Sau đó sắp xếp 3 chữ số để tạo thành 1 số bao gồm 3 chữ số. Từ đó ta có các số là: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Đây chính là chỉnh hợp.
- Với tổ hợp thì đó là việc lấy ra một tập hợp con và không sắp xếp vị trí của chúng.
Ví dụ: Có 3 chữ số cho trước là 1, 2 và 3. Sau đó chúng ta lấy ra 3 phần tử là các số 1, 2 và 3 rồi đặt các số vào những vị trí khác nhau trong tập con, ta sẽ có:
A = {1;2;3}; B = {1;3;2}; C = {2;1;3}; D = {2;3;1}; E = {3;1;2}; F = {3;2;1}
Như vậy, chúng ta có 6 tập con nhưng 6 tập này đều có giá trị giống nhau là 1,2 và 3. Điều này đồng nghĩa với việc 6 tập con này là một và đó chính là tổ hợp.
Có thể bạn quan tâm:
Tập hợp là gì? Phần tử của tập hợp là gì? Tìm hiểu các phép toán tập hợp
Số thực là gì? Tập hợp số thực là gồm những số nào? lấy ví dụ
Trên đây là những thông tin liên quan đến tổ hợp là gì và chỉnh hợp là gì. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn có thêm những kiến thức bổ ích, phục vụ trong học tập cũng như trong công việc. Nếu như bạn có bất kỳ thắc mắc nào khác, hãy để lại bình luận ngay bên dưới nhé!
