Thế nào là 2 tam giác đồng dạng? khái niệm và cách chứng minh

Tam giác đồng dạng là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học 8. Vậy khái niệm hai tam giác đồng dạng là gì? Trong bài viết này hãy cùng với chúng tôi tìm hiểu tính chất, các trường hợp đồng dạng của tam giác cũng như các bài tập liên quan đến tam giác đồng dạng nhé!

Nội dung bài viết

Thế nào là 2 tam giác đồng dạng?

Trong cuộc sống, chúng ta có thể bắt gặp những vật thể có kích thước và hình dáng như nhau; những vật thể này được gọi là đồng dạng.

Như vậy, tam giác đồng dạng được định nghĩa như sau: Nếu như một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác bất kỳ và nó song song với cạnh còn lại thì sẽ tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu.

Cụ thể: Tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu như chúng đáp ứng được các điều kiện sau đây:

Góc A’ = góc A, góc B’ = góc B, góc C’ = góc C
Tỉ lệ các cạnh là: A’B/AB = B’C’/BC = A’C’/AC

Ký hiệu đồng dạng được quy ước là “∼”. Nếu như tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ thì sẽ có ký hiệu như sau: △ABC ∼ △A’B’C’.

Ngoài ra, nếu gọi tỉ lệ A’B/AB = B’C’/BC = A’C’/AC = k thì lúc này k sẽ được gọi là tỉ số đồng dạng.

Các trường hợp tam giác đồng dạng là gì?

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

Trường hợp 1: Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng với nhau. (cạnh-cạnh-cạnh).

Ví dụ minh họa:

Trường hợp 2: Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng với nhau. (góc-góc).

Ví dụ minh họa:

Trường hợp 3: Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì chúng đồng dạng với nhau. (cạnh-góc-cạnh).

Ví dụ minh họa:

Tổng hợp các trường hợp đồng dạng của tam giác thường:

*Các trường hợp tam giác đồng dạng của tam giác thường*

*Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Định lí 1 : Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ minh họa:

Định lí 2 : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng. (hai cạnh góc vuông)

Ví dụ minh họa:

Định lí 3: Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng. (góc)

Giả thiết: △ABC và △A’B’C’, có góc A = góc A’ = 90० và góc B = góc B’

Kết luận: ⇾△ABC ~ △A’B’C’

Hai tam giác đồng dạng có tính chất gì?

Tính chất giao hoán: Nếu như tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC thì tam giác ABC cũng sẽ đồng dạng với tam giác A’B’C’
Tính chất bắc cầu: Nếu như tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác A”B”C”, tam giác A”B”C” lại đồng dạng với tam giác ABC thì chúng ta có được cặp tam giác đồng dạng là A’B’C’ và ABC.

Xem thêm: Hình hộp chữ nhật là gì? Tính diện tích, thể tích hình hộp chữ nhật thế nào

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức

Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho góc BCx = góc BAD. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:

a) △ADB∼△CDI

b) AD.AC=AB.AI

c) AD² = AB.AC – BD.DC

Giải: Ta có hình vẽ:

c) Có AD/CD=BD/BI; (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)
Từ (1) và (2): => AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI) = AD.AD = AD²

Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh:

a) △ADB∼△AEG
b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
c) FG // BC

Giải: Ta có hình vẽ:

a) Xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

BD⊥AC (BD là đường cao)

EG⊥AC (EG là đường cao)

Suy ra: BD // EG

Suy ra: △ADB∼△AEG

b) Từ a) Suy ra AB/ AE = AD/ AG

⇒ AD.AE = AB.AG (1)

CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) Xét tam giác ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: AB/AF=AC/AG

Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)

Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho △ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) △HBE∼△HCE
b) △HED∼△HBC và góc HDE = góc HAE

Giải: Ta có hình vẽ

a) Xét △HBE và △HCD, ta có :

góc BEH = góc CDH =90∘ (gt)

góc H₁ = góc H₂ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra: △HBE∼△HCD (g – g)

Tổng hợp các phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng toán lớp 8

Phương pháp 1: Dựa vào 1 trong 3 trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh. Cụ thể là theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Tức là, hai tam giác được coi là đồng dạng nếu như chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.
Phương pháp 2: Theo định lý Talet: Nếu như một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ tạo ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Phương pháp 3: Cần chứng minh các điều kiện cần và đủ theo như định nghĩa: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng, hai góc xen giữa của hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.
Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp cạnh – góc – cạnh. Cụ thể: 2 tam giác được coi là đồng dạng nếu như 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau.

Bài tập áp dụng tam giác đồng dạng toán 8

Chứng minh 2 tam giác đồng dạng.

Bài 1: Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho góc DME= góc B

a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME

b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM

c) Chứng minh: BD.CE không đổi?

a) Ta có góc DBM= góc ECM (do ΔABC cân tại A (1) ) và góc DBM = góc DCM(gt)

Mà góc DBM+ góc BMD +góc MDB =180

DME+ BMD+CME =180०

Suy ra góc MDB= góc CME (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ΔBDM ∽ ΔCME (g – g).

b) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

Nên BD/CM=DM/ME và BM = CM (giả thiết)

BD/BM = DM/ME => ΔMDE ∽ ΔDBM.

c) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

BD/CM = BM/CE Suy ra: DB.CE=CM.BM

Mà BM=CM=BC/2= a ⇒ BD.CE = CM.BM = a²(không đổi)

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB= 12,5 cm, DC = 28,5 cm, AB// DC, góc DAB = góc DBC; Tính độ dài đoạn thẳng DB.

Giải: ta có hình vẽ:

Bài 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH

chứng minh rằng:

a) ΔABM ∽ ΔCAN

b) AM ⊥ CN

Giải: ta có hình vẽ:

a) Xét tam giác ABH và tam giác CAH có:

Góc BHA = góc AHC = 90

và Góc BAH = góc ACH ( cùng phụ với góc B)

⇒ΔABM ∽ ΔCAN (g.g)

⇒BH / AH = AB /CA => BM /AN = AB / CA

Lại có góc HBA = góc HAC ( cùng phụ với góc C)

Xét ΔABM và ΔCAN có:

BM / AN = AB/CA và góc HBA = góc HAC

=>ΔABM ∽ ΔCAN (c-g-c)

b) Xét tam giác ABH có MN là đường trung bình nên MN//AB. Vậy MN ⊥ AC tại K.

Xét tam giác AMC có AH, MK lần lượt là các đường cao nên N là trực tâm. Vậy CN ⊥ AM

Bài 4: Cho ΔABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm và ΔA1B1C1 vuông tại B1 có A1B1 = 6cm, B1C1 = 8cm. Hai tam giác vuông ΔABC và ΔA1B1C1 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

Giải:

ΔABC vuông tại A, ta có AC2 = BC2 – AB2 = 25 – 9 = 16 => AC = 4 (cm).

Tương tự, ΔA1B1C1 vuông tại B1, ta có (A1C1)2 = (A1B1)2 + (B1C1)2 = 36 + 64 = 100 => A1C1 = 10 (cm)

Ta có: AB/A1B1 = 3/6 = 1/2, CA/C1B1 = 4/8 = 1/2, CB/C1A1 = 5/10 = 1/2

=> AB/A1B1 = CA/C1B1 = CB/C1A1

Như vậy, hai tam giác vuông ΔABC và ΔA1B1C1 đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC.

Giải:

Vì AB // CD => Góc OAB = góc OCD (so le trong).

ΔOAB và ΔOCD có: Góc AOB = góc COD, góc OAB = góc OCD

=> ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=> OA/OC = OB/OD = AB/CD

=> OA.OD = OB.OC.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết liên quan đến 2 tam giác đồng dạng là gì. Hy vọng sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào khác liên quan đến phần kiến thức này thì hãy để lại bình luận bên dưới bài viết này nhé!

Xem thêm: Hình thoi là gì? Tính chất và công thức tính diện tích hình thoi

Trên đây là toàn bộ lý thuyết liên quan về 2 tam giác đồng dạng cùng những hình ảnh trực quan và một số bài tập bổ trợ về tam giác đồng dạng vô cùng dễ hiểu giúp học sinh và các vị phụ huynh hứng thú hơn với chuyên đề Hai tam giác đồng dạng toán lớp 8 nói riêng và bộ môn Toán học nói chung. Chúc các bạn có những giờ học vui vẻ và đạt hiệu quả cao.