Nhiều bạn học sinh mặc dù đã từng học qua vi phân và làm các bài tập có liên quan nhưng đa số các bạn lại chưa nắm rõ được khái niệm vi phân là gì. Những nội dung kiến thức mà muahangdambao.com đã tổng hợp ngay sau đây sẽ giúp bạn nắm bắt công thức và cách tính vi phân trong tích phân.
Vi phân là gì?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại một điểm x0. Ta gọi Δx là số gia của biến số tại x0 (với Δx = x – x0). Tích f’(x0) Δx còn được gọi là vi phân của hàm số f(x0) ứng với số gia Δx (vi phân của f(x0)).
Ký hiệu vi phân tại x0 là: df(x0) = f’(x0) Δx (1). Trong biểu thức (1), để khử đi Δx, ta xét trường hợp f(x) = x, khi đó ta có: df = dx = (x)’. Δx = Δx. Do đó, ta thay Δx = dx và có được biểu thức: df(x0) = f’(x0) dx.
Nói tóm lại, vi phân của hàm số f(x) tại điểm x = x0 được ký hiệu là df(x0) và có dạng: df(x0) = f’(x0)dx.
Phương trình vi phân là gì?
Phương trình vi phân có thể được hiểu là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm là y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình có chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm cần tìm sẽ được gọi là phương trình vi phân.
Ứng dụng của vi phân là gì?
Vi phân có thể giúp chúng ta giải quyết được rất nhiều vấn đề trong thế giới thực. Ta dùng đạo hàm để xác định các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm riêng biệt (ví dụ như độ dài, số lượng vật liệu dùng cho xây dựng, giá tiền, lợi ích, tổn thất,.).
Chúng ta cũng dễ bắt gặp phép tính đạo hàm trong các vấn đề có liên quan đến cơ khí và tin học, đặc biệt khi ta làm những mô hình đặc điểm của một vật thể đang chuyển động.
Công thức tính vi phân trong tích phân
Để tính được vi phân chúng ta có thể sử dụng một số công thức quen thuộc sau đây:
- cos(xdx) = d (sinx)
- sin(xdx) = -d (cosx)
- 1 – sin²xdx = -d (cot x)
- 1 – cos²x dx = d (tan x)
- e×dx = d (e×)
- a× dx = 1 – ln[ad(a×)]
- 1 – xdx = d (ln x).
- sin (ax + b)dx = -1/ad[cos(ax + b)]
Hướng dẫn cách tính vi phân cơ bản
Cho hàm số f(x) được xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Cho x là một số gia Δx tùy ý, tại số gia của hàm số y = f(x0+x) – f(x0) được viết dưới dạng: Δy = AΔx + α(Δx).
Trong đó A chính là đại lượng không phụ thuộc vào Δx và α(Δx) là vô cùng bé, có bậc cao hơn Δx (nghĩa là α(Δx) => 0 khi Δx => 0). Lúc này ta nói nói hàm số f(x) khả vi tại điểm và đại lượng AΔx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm . Ký hiệu như sua: dy = ΔA.x.
Mối quan hệ giữa vi phân và đạo hàm là gì?
Thông qua những nội dung trên, ta rút ra được mối quan hệ của đạo hàm và vi phân như sau:
Xét về mặt công thức thì vi phân của hàm tại x0 sẽ bằng đạo hàm của hàm tại x0 nhân với dx. Nhưng nếu xét về mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân không có mối quan hệ nào cả. Đạo hàm sẽ dựa vào tỉ số dy/dx để ám chỉ sự biến đổi tức thì, còn vi phân sẽ dựa vào y’dx để lấy từng phần rất nhỏ trên hàm số y = f(x).
Có thể bạn quan tâm:
Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, CT dễ hiểu
Những bài toán khó nhất thế giới chưa đầy 1% dân số giải được
Hy vọng rằng bài viết trên đây của chúng tôi đã giúp bạn đọc hiểu được vi phân là gì cũng như công thức và cách tính cụ thể. Từ đó, áp dụng vào giải các bài tập có liên quan một cách chính xác và hiệu quả nhất.
